.RU

- А1: нат число единицы, кот непосред не следует ни за каким нат числом. A


– коммутативное кольцо

Определение:


Единицей называется целое число 1

Z

=[(2;1)]

Свойство:


Для любых αϵ

Z

1

Z

∙α=α∙1

Z


► α=[(a;b)]
1

Z

∙α=[(2;1)]∙[(a;b)]=[(2a+b;2b+a)]=[((a+b)+a;(a+b)+b)]=[(a;b)]=α, а так как умножение на множестве целых чисел коммутативно, то отсюда следует что верно и α∙1

Z

=α ◄

Следствие:


– коммутативное кольцо с единицей

36.Отношение «>» в кольце целых чисел и его корректность


Определение:

Будем говорить, что целое число α=[(a;b)] больше чем целое число β=[(c;d)], если a+d>b+c обозначается α>β.

Пример:


α=[(5;2)], β=[(3;1)]
5+1>2+3=> α>β.

Теорема

(Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.

Док-ство:

α=[(a;b)]=[(a1;b1)], β=[(c;d)]=[(c1,d1)]
a+d>b+c
док.: a1+d1>b1+c1
(a;b)~ (a1;b1)=>a+b1=b+a1
(c;d) ~ (c1,d1)=> c+d1=d+c1
(a1+d1)+(b+c)=(b1+c1)+(a+d)
a+d>b+c
a1+d1> b1+c1□
37.

Отношение «>» как отношение порядка в кольце целых чисел. Свойство трихонометрии


Теорема 2

: α,β имеет место только одно из соотношений:
1) α>β
2) α=β
3) α<β

Док-ство:

Пусть : α=[(a;b)], β=[(c;d)]
(a+d) и (b+c)
(a+d>b+c) (a+d=b+c)(a+dα>β α=β α<β□

Теорема3:

Отношение «≥» явл. Отношением порядка на множестве целых чисел.

Док-ство:


Рефлексивность: α≥α (очевидно)
Антисимметричность: α,β: α≥ββ≥α=>α=β
α=[(a;b)], β=[(c;d)]
a+d=b+c=>(a;b)~(c;d)
α=β
Транзитивность:α,β,γ: α≥ββ≥γ=>α≥γ
α=[(a;b)], β=[(c;d)], γ=[(m,n)]
β≥γ: c+n≥d+m
α≥β: a+d≥b+c
док.: a+n≥b+m
(a+d)+(c+n)≥(b+c)+(d+m)
a+n≥b+m [α≥γ]

38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел: определение, корректность определения, описание


Определение

: Будем говорить, что целое число положительное, если а>b. И будем обозначать + - множество всех положительных целых чисел.

Свойство1

: (корректность определения) Определение корректно.

Доказательство

: , a>b
доказать:
(a,b) ~ : a+=b+, a>b .

Лемма1

: Множество += k

Доказательство

: ,1+k>1 +
+ c>d
(c;d) ~ (c+1;d+1)=(d+k+1;d+1) ~ (k+1;1).

Свойство2

: +

Доказательство

: k≠n [(1+k;1)]≠[(1+n;1)] – отображение и иньекция
[(1+n;1)].

39. Биекция

+

сохранение отношения «>», суммы и произведения. Отображение f

-1

как вложение N в Z


Теорема1

: Отображение + сохраняет отношение «больше чем», «сумму», «произведение».

Доказательство

: α>β f(α)>f(β)
α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]
α>β (1+k)+1>1+(1+n)k+2>n+2k>n
f(α)>f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]
α+β=[1+k+1+n;1+1]=[(1+k+n;2)]
f(α+β)=k+n= f(α)+f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]
αβ=[((1+k)(1+n)+1;1+k+1+n)]=[(1+kn;1]f(α*β)=k*n= f(α)*f(β).

Следствие

: Отображение f-1:+ :k[(1+k;1)] является инъекцией сохраняет сумму, произведение и отношение «>».
Таким образом f-1 является вложением и позволяет нам рассматривать как подмножество в .

40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. Архимедовость и дискретность кольца целых чисел


Свойство 1(архимедовость кольца целых чисел):

,, >0 n N:n>
Доказательство: >0 ,N
0 n=1 

Свойство 2

(дискретность множества целых чисел): каждое целое число  имеет соседнее число +1, т.е. не  : <<+1

Доказательство:

N +1=’N, для натуральных чисел дискретность была доказана
N (-)
00
f:N{0}{-N}{0}: -
Далее рассуждаем от противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось –(+1)<-<-, то тогда бы т.к. f биекция<<+1 ?!
Нет натуральных чисел между 0, 1 и -1,0
Нет натуральных чисел перед 1 поэтому не существует натурального числа  между 0 и 1.
-1, 0 – не существует отрицательного целого числа - между -1 и 0.

Свойство 3:



  1. >+>+

  2. > >+>+

  3. >>0>

  4. >->0

  5. =0=0=0

Доказательство:



  1. =[(a,b)], =[(c,d)] , =[(m,n)]

>a+d > b+c
+=[(a+m; b+n)]
+=[(c+m; d+n)]
Доказать: +>+
a+m+d+n> b+n+c+m
a+d>b+с
> 

Свойство 4:

Множество целых чисел счетно.

Доказательство:



41. Определение рациональных чисел как классов эквивалентности


Определение:


Пара , если ad=bc

Теорема 1:

Отношение «» таким образом, определенное является отношением эквивалентности.

Доказательство.

1) Рефлексивность:

2) Симметричность:

3) Транзитивность:


Свойство 1

:

Доказательство:

abc=bac

Следствие:


Доказательство:

симметричность относительно «»

Определение:

рациональными числами будем называть классы эквивалентности

Обозначения

:

42. Определение суммы рациональных чисел и его корректность. Аддитивная абелева группа рациональных чисел


Суммой рациональных чисел называется рациональное число

. (корректность определения) Сумма рациональных чисел не зависит от выбора пар, которые определяют слагаемые.
:
Надо доказать





+


(коммутативность сложения)


(ассоциативность сложения)


Множество рациональных чисел имеет нейтральный элемент относительно сложения: :


По коммутативности обратное утверждение доказывается аналогично.
. Противоположным относительно сложения для элементов является число

Доказательство:


Следствие:

абелева группа

Определение

: число будет называться разностью чисел если

Обозначения:


Теорема 6

. рациональное число

Доказательство:


43. Определение произведения рациональных чисел и его корректность. Поле рациональных чисел.
Определение:
Теорема 1: определение произведения рациональных чисел корректно.
Док-во:
Нужно доказать:



.
Теорема 2: умножение рациональных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.
Док-во:

  1. ?


умножение целых чисел коммутативно







  1. .

Утверждение 1: рациональное число : является нейтральным элементом относительно умножения в мн-ве Q.
Утверждение 2: для любого рационального числа : обратным является число :
Следствие: поле

44. Отношение «>» в поле рациональных чисел и его корректность. Плотность множества рациональных чисел. Свойство трихотомии. Отношение «>» как отношение порядка в Q.


Утверждение 1.

Произвольное рациональное число является классом пары, где а , в  .

Доказательство:

(а, в)(а(-1), в(-1))=(-а, -в). 
Поэтому дальше будем использовать пары только с положительным вторым элементом.

Определение 1:

Пусть =[(а, в)], =[(с, d)] Q. Будем говорить > если ad>bc.

Теорема 1:

Определение 1 корректно.

Теорема 2:

 , Q могут находиться только в одном соотношении: >  =  <.

Теорема 3:

Отношение «≥» является отношением порядка на Q.
45. Отношение порядка в поле рациональных чисел и его связь с арифметическими операциями
^ 46. Вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел. Изоморфизм колец

Определение:

Q:= {=(а,1)/а} Элементы этого множества будем называть целыми рациональными числами.

Свойство 1:

[(с, d)] Q  с d.

Доказательство:

()

(а, 1)(с, d) ad=ccd
2010-07-19 18:44 Читать похожую статью
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © Помощь студентам
    Образовательные документы для студентов.